Question

3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，点B是椭圆短轴的下端点．B到椭圆一个焦点的距离为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点$P（0，\frac{3}{2}）$的直线l与椭圆C交于M，N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，点B是椭圆短轴的下端点．B到椭圆一个焦点的距离为$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+$\frac{3}{2}$，由代入椭圆方程消去y并整理，确定MN中点Q的坐标，由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）
由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=$\sqrt{3}$得：a=$\sqrt{3}$，b=1
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）显然直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y=kx+$\frac{3}{2}$．
由代入椭圆方程消去y并整理得（k²+$\frac{1}{3}$）x²+3kx+$\frac{5}{4}$=0．------------------（6分）
由△=9k²-5（k²+$\frac{1}{3}$）＞0，k²＞$\frac{5}{12}$．---------------------------------------------（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点为Q（x₀，y₀），
得x₀=-$\frac{9k}{6{k}^{2}+2}$，y₀=$\frac{3}{6{k}^{2}+2}$．----------------------（9分）
由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，
所以$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$，即$\frac{\frac{3}{6{k}^{2}+2}+1}{-\frac{9k}{6{k}^{2}+2}}$=-$\frac{1}{k}$．-------------------------------（11分）
化简得k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
因此直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x+$\frac{3}{2}$．      …（12分）

点评 本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．