Question

10．已知a＞0，函数f（x）=$\frac{|x-2a|}{x+2a}$在区间[1，4]上的最大值等于$\frac{1}{3}$，则a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 讨论x-2a在区间[1，4]上恒大于零？恒小于零？既有大于零又有小于零？对应的f（x）的最大值是什么，求出a的值．

解答 解：（1）当x-2a在区间[1，4]上恒大于零时，
∵x-2a＞0，∴a＜$\frac{x}{2}$；
当x=1时，满足x-2a在[1，4]上恒大于零，即a＜$\frac{1}{2}$；
此时函数f（x）=$\frac{x-2a}{x+2a}$=1-$\frac{4a}{x+2a}$，
该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=$\frac{1}{3}$，
∴a=1，不满足a＜$\frac{1}{2}$的假设，舍去．
（2）当x-2a在区间[1，4]上恒小于零时，
∵x-2a＜0，∴a＞$\frac{x}{2}$；
当x=4时，满足x-2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；
此时函数f（x）=$\frac{-（x-2a）}{x+2a}$=$\frac{4a}{x+2a}$-1，
该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=$\frac{1}{3}$，
∴a=1，不满足a＞2的假设，舍去．
（3）由前面讨论知，当$\frac{1}{2}$＜a＜2时，x-2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，
①当x＜2a时，x-2a＜0，此时函数f（x）=$\frac{4a}{x+2a}$-1在[1，2a）上为减函数，
在x=1时，取到最大值f（1）=$\frac{1}{3}$；
②当x＞2a时，x-2a＞0．此时函数f（x）=1-$\frac{4a}{x+2a}$在（2a，4]时为增函数，
在x=4时，取到最大值f（4）=$\frac{1}{3}$；
总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；
当函数在x=1处取最大值时，解得a=1，此时函数f（x）=$\frac{|x-2|}{x+2}$，
将函数的另一个最大值点x=4代入得：
 f（4）=$\frac{1}{3}$，
∵f（1）=f（4），∴满足条件；
当函数在x=4处取最大值时，解得a=1，此时函数f（x）=$\frac{|x-2|}{x+2}$，
将函数的另一个最大值点x=1代入得：
f（1）=$\frac{1}{3}$，
∵f（1）=f（4）成立．
∴a=1．
另解：函数f（x）=$\frac{|x-2a|}{x+2a}$，x∈[1，4]，a＞0，
可得f（x）=|$\frac{x-2a}{x+2a}$|=|1-$\frac{4a}{x+2a}$|，
若当x=4时，f（x）取得最大值，则$\frac{4a}{x+2a}$=$\frac{2}{3}$，
即有$\frac{4a}{4+2a}$=$\frac{2}{3}$，解得a=1；
若当x=1时，f（x）取得最大值，则$\frac{4a}{x+2a}$=$\frac{4}{3}$，
即有$\frac{4a}{1+2a}$=$\frac{4}{3}$，解得a=1；
综上可得a=1．
故选B．

点评 本题考查了含有绝对值的函数在某一闭区间上的最值问题，注意运用分类讨论方法，是易错题．