Question

18．在不等式理论的研究和证明中，平均值不等式占有重要的位置，平均值不等式的证明方法多样、技巧性高．下面介绍的就是其证明方法之一：
先证明引理：如果n个正数x₁、x₂…x_n的乘积x₁x₂…x_n=1，那么它们的和x₁+x₂+…+x_n≥n．
再利用引理，证明平均值不等式；对于n个正数a₁、a₂…a_n，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即
$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$
（1）请你用数学归纳法证明引理；
（2）请你利用引理，通过变量代换，证明n个正数的平均值不等式．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法．（i）当n=1时，x₁=1≥1，结论成立．（ii）假设当n≤k，k∈N^*时，结论成立，即k个正数x₁、x₂，…，x_k的乘积x₁x₂…x_k=1，那么它们的和x₁+x₂+…+x_k≥k．当n=k+1时，k+1个正数x₁、x₂，…，x_k，x_k+1的乘积x₁x₂…x_k•x_k+1=1，显然存在x_i≥1，x_j≤1（i，j∈{1，2，3，…，k+1}），不妨设i=1，j=2．（x₁-1）（x₂-1）≤0，x₁x₂+1≤x₁+x₂，再利用归纳假设即可证明．
（2）令x₁=$\frac{{a}_{1}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，…，x_n=$\frac{{a}_{n}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，可得x₁x₂•…•x_n=1．由引理可得：x₁+x₂+…+x_n≥n，代入整理即可证明．

解答 （1）证明：利用数学归纳法．
（i）当n=1时，x₁=1≥1，结论成立．
（ii）假设当n≤k，k∈N^*时，结论成立，即k个正数x₁、x₂，…，x_k的乘积x₁x₂…x_k=1，那么它们的和x₁+x₂+…+x_k≥k．
当n=k+1时，k+1个正数x₁、x₂，…，x_k，x_k+1的乘积x₁x₂…x_k•x_k+1=1，
显然存在x_i≥1，x_j≤1（i，j∈{1，2，3，…，k+1}），不妨设i=1，j=2．则（x₁x₂）•x₃•…•x_k+1=1，
由归纳假设可得：x₁x₂+x₃+…+x_k+1≥k，∵x₁≥1，x₂≤1，∴（x₁-1）（x₂-1）≤0，∴x₁x₂+1≤x₁+x₂，
∴x₁+x₂+…+x_k+x_k+1≥x₁x₂+1+x₃+…+x_k+1≥k+1．
综上可知：对于?n∈N^*，命题成立．
（2）证明：令x₁=$\frac{{a}_{1}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，…，x_n=$\frac{{a}_{n}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，
∴x₁x₂•…•x_n=1．
由引理可得：x₁+x₂+…+x_n≥n，∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•a}}_{n}}$≥n，即$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

点评 本题考查了数学归纳法、均值不等式，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力，属于难题．