Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是实数集R上的奇函数，且在x=1处取得极小值-2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）已知函数g（x）=|x|-2，判断关于x的方程f（g（x））-k=0解的个数．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax³+bx²+cx+d是实数集R上的奇函数知b=d=0，再求导f′（x）=3ax²+c；从而可得f（1）=a+c=-2，f′（1）=3a+c=0；从而解得；
（2）由（1）知f（x）在[-2，-1]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2；从而分类讨论以确定方程解的个数．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d是实数集R上的奇函数，
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c；
∴f（1）=a+c=-2，f′（1）=3a+c=0；
解得，a=1，c=-3；
故f（x）=x³-3x；
（2）∵f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
又∵g（x）=|x|-2≥-2，
∴f（x）在[-2，-1]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2；
故当k＜-2时，方程f（g（x））-k=0无解；
当k=-2时，方程f（g（x））-k=0可化为
g（x）=-2或g（x）=1；
故x=0或x=3或x=-3；
共3个解；
当-2＜k＜2时，
-2＜g（x）＜-1或-1＜g（x）＜1或g（x）＞1；
故g（x）共有6个解；
当k=2时，
g（x）=-1或g（x）=2，
解得，x=-1，或x=1或x=4或x=-4；
故有4个解；
当k＞2时，g（x）＞2；
故有2个解；
综上所述，
当k＞2时，方程f（g（x））-k=0有2个解；
当k=2时，方程f（g（x））-k=0有4个解；
当-2＜k＜2时，方程f（g（x））-k=0有6个解；
当k=-2时，方程f（g（x））-k=0有3个解；
当k＜-2时，方程f（g（x））-k=0无解．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于难题．