Question

20．设F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（其中c²+b²=a²）上存在点P，使线段PF₁的垂直平分线经过点F₂，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 设点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点K的坐标，根据 线段PF₁的斜率与 KF₂的斜率之积等于-1，求出m²的解析式，再利用m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．

解答 解：由题意得  F₁（-c，0）），F₂ （c，0），
设点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m），
则由中点公式可得线段PF₁的中点K（$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}$，$\frac{1}{2}$m ），
∴线段PF₁的斜率与 KF₂的斜率之积等于-1，
即$\frac{m-0}{\frac{{a}^{2}}{c}+c}$•$\frac{\frac{1}{2}m-0}{\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2c}-c}$=-1，
∴m²=-（$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）•（$\frac{{a}^{2}}{c}$-3c）≥0，
∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥$\frac{1}{3}$，或 e²≤-1（舍去），
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又椭圆的离心力率  0＜e＜1，
故$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e＜1，
故选C．

点评 本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．