Question

15．已知抛物线C：y²=4x，O为坐标原点，F为其焦点，当点P在抛物线C上运动时，$\frac{|PO|}{|PF|}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由抛物线的性质写出准线方程，再由定义得到|PF|=x+1，从而有$\frac{|PO|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，令x+1=t（t≥1），转化为t的函数，整理配方得到f（t）=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，由二次函数的对称轴，即可得到最大值．

解答 解：∵抛物线y²=4x的准线方程为：x=-1，
∴由抛物线的定义可得，|PF|=x+1，
∴$\frac{|PO|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{x+1}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，
令x+1=t（t≥1），
则f（t）=$\frac{\sqrt{（t-1）^{2}+4（t-1）}}{t}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2t-3}}{t}$=$\sqrt{1+\frac{2}{t}-\frac{3}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
于是当$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$即t=3，即x=2，f（t）取最大，且为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时P（2，±2$\sqrt{2}$）．
故选；A．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查函数的最值求法，注意运用分式中变量分离法，及配方法，属于中档题．