Question

9．对于n∈N⁺，将n表示为n=a${\;}_{0}×{2}^{k}$+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，当i=0时，a₁=1，当1≤i≤k时，a₁为0或1，记I（n）为上诉表示中a_i为0个数（例如：1-1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×0⁰，故I（1）=0，I（4）=2），则
（1）I（15）=0
（2）$\underset{\stackrel{126}{∑}}{n=1}$2^I（n）=1092．

Answer 1

分析 （1）把15表示成15=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰的形式，即把十进制的数转化为二进制的数，即得I（15）的值；
（2）将n分为64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，利用组合数的性质，分析I（n）的取值情况，与二项式定理结合，转化为等比数列的前7项和，计算即可．

解答 解：（1）∵15=1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
∴I（15）=0；
（2）126=1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰，
设64≤n≤126，且n为整数；
则n=1×2⁶+a₁×2⁵+a₂×2⁴+a₃×2³+a₄×2²+a₅×2¹+a₆×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有C₆⁰种情况，即有C₆⁰个I（n）=6；
其中有一个为1时，有C₆¹种情况，即有C₆¹个I（n）=5；
其中有2个为1时，有C₆²种情况，即有C₆²个I（n）=4；
…$\sum_{n=64}^{126}$2^I（n）=C₆⁰2⁶+C₆¹×2⁵+C₆²×2⁴+C₆³×2³+C₆⁴×2²+C₆⁵×2=（2+1）ⁿ-1=3⁶-1
同理可得：$\sum_{n=32}^{63}$2^I（n）=3⁵，
…$\sum_{n=2}^{3}$2^I（n）=3¹，
2^I（1）=1；
则$\sum_{n=1}^{126}$2^I（n）=1+3+3²+…+3⁶-1=$\frac{{3}^{7}-1}{3-1}$-1=1092；
故答案为：（1）0；（2）1092．

点评 本题考查了新定义的关于二进制的数的转化应用问题，也考查了求和公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．