Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点B（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解方程可求a，b进而可求方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x=2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由直线y=k（x+2）恒过点椭圆的左顶点（-2，0），可求x₁，y₁，由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂，y₁+y₂，由已知可得，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$，根据向量的数量积的坐标表示可得关于k的不等式，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+y=1$．…（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x=2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0 …（6分）
依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（-2，0），此点为椭圆的左顶点，
所以x₁=-2，y₁=0，----①，
由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-------②，
可得y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=k（x₁+x₂）+4k----③，…（8分）
由①②③，${x}_{2}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${y}_{2}=\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$                      …（10分）
由点B在以PQ为直径的圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$．
$\overrightarrow{BP}$=（-2，-1），$\overrightarrow{BQ}$=（x₂，y₂-1）
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$=-2x₂-y₂+1＜0．…（12分）
即$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+\frac{4k}{1+4{k}^{2}}-1＞0$，整理可得，20k²-4k-3＜0

解得：k$∈（-\frac{3}{10}，\frac{1}{2}）$．…（14分）

点评 本题主要考查了椭圆的性质在求解方程中的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，试题对考试的逻辑思维能力及计算能力的要求较高．