Question

6．已知M是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上任意一点，P是线段OM的中点，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$（　　）

• A． 没有最大值，也没有最小值
• B． 有最大值，没有最小值
• C． 有最小值，没有最大值
• D． 有最大值和最小值

Answer 1

分析 通过极坐标表示成M（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用向量数量积运算性质及三角函数的有界性计算即得结论．

解答 解：由题可知：F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
设M（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
则P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，$\frac{1}{2}$sinθ），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，-$\frac{1}{2}$sinθ）•（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，-$\frac{1}{2}$sinθ）
=$\frac{3}{4}$cos²θ-2+$\frac{1}{4}$sin²θ
=（$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$）cos²θ-2+$\frac{1}{4}$sin²θ
=$\frac{1}{2}$cos²θ-$\frac{7}{4}$，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$∈[-$\frac{7}{4}$，-$\frac{5}{4}$]，
故选：D．

点评 本题以椭圆为载体，考查向量数量积的范围，注意解题方法的积累，属于中档题．