Question

11．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{5}=1$（x≠0，y≠0）上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是以线段PF₁为直径的圆上一点，且M到∠F₁PF₂两边的距离相等，则$|{\overrightarrow{{O}{M}}}|$的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{5}$）
• B． （0，2$\sqrt{2}$）
• C． [$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$）
• D． （3，2$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 结合椭圆的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0；当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F₁重合，此时|OM|取最大值c=2$\sqrt{2}$，由此能够得到|OM|的取值范围．

解答 解：由题意得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{13-5}$=2$\sqrt{2}$，
当P在椭圆的短轴顶点处时，M与O重合，|OM|取得最小值等于0．
当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F₁重合，|OM|取得最大值等于c=2$\sqrt{2}$．
由于xy≠0，故|OM|的取值范围是（0，2$\sqrt{2}$），
故选B．

点评 本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查判断分析能力，属于中档题．