如果数列{an}同时满足以下两个条件:存在常数k.对任意n∈N*.an+12=anan+2+k都成立．则称这样的数列{an}为“k类等比数列．(Ⅰ)若数列{an}满足an=3n+1.证明数列{an}为“k类等比数列 .并求出相应的k,(Ⅱ)若数列{an}为“3类等比数列 .且满足a1=1.a2=2.问是否存在常数l.使得an+an+2=lan+1对于任意n∈N*都� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如果数列{a_n}同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数k，对任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+k都成立．则称这样的数列{a_n}为“k类等比数列”．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足a_n=3n+1，证明数列{a_n}为“k类等比数列”，并求出相应的k；
（Ⅱ）若数列{a_n}为“3类等比数列”，且满足a₁=1，a₂=2，问是否存在常数l，使得a_n+a_n+2=la_n+1对于任意n∈N^*都成立？若存在，求出l；若不存在，请举出反例．

分析（I）由a_n=3n+1，只要证明a_n+1²-a_na_n+2为与n无关的常数即可．
（II）数列{a_n}为“3类等比数列”，且满足a₁=1，a₂=2，可得a_n+1²=a_na_n+2+3，取n=1时，解得a₃=1．假设存在常数l，使得a_n+a_n+2=la_n+1对于任意n∈N^*都成立，
则a₁+a₃=la₂，解得l=1．可得a_n+a_n+2=a_n+1，下面说明对于任意n∈N^*以下两个式子：a_n+1²=a_na_n+2+3，a_n+a_n+2=a_n+1，都成立．由a_n+a_n+2=a_n+1，a₁=1，a₂=2，可得a_n+6=a_n，只要验证：n=1，2，3，4，5，6时，满足a_n+1²=a_na_n+2+3，即可．

解答（I）证明：∵a_n=3n+1，∴a_n+1²-a_na_n+2=[3（n+1）+1]²-（3n+1）（3n+7）=9，
∴对任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+9都成立，且k=9．
∴数列{a_n}为“9类等比数列”．
（II）解：∵数列{a_n}为“3类等比数列”，且满足a₁=1，a₂=2，
∴a_n+1²=a_na_n+2+3，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}+3$，解得a₃=1．
假设存在常数l，使得a_n+a_n+2=la_n+1对于任意n∈N^*都成立，
则a₁+a₃=la₂，∴1+1=l×2，解得l=1．
因此a_n+a_n+2=a_n+1，
下面说明对于任意n∈N^*以下两个式子：a_n+1²=a_na_n+2+3，a_n+a_n+2=a_n+1，都成立．
由a_n+a_n+2=a_n+1，a₁=1，a₂=2，
可得：a₃=1，a₄=-1，a₅=-2，a₆=-1，a₇=1，a₈=2，…，
∴a_n+6=a_n，
因此数列{a_n}是周期为6的周期数列．
经过验证：n=1，2，3，4，5，6时，满足a_n+1²=a_na_n+2+3，
同理对于任意n∈N^*都成立．

点评本题考查了新定义“k类等比数列”的性质、数列的周期性，考查了探究能力、推理能力与计算能力，属于难题．

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