Question

8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点M（4，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点M的直线l：y=x+m交椭圆于A、B两点，试问直线MA、MB与x轴能否围成等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围，可得到两根之和、两根之积，设直线MA，MB斜率分别为k₁和k₂，化简k₁+k₂ 的结果等于0，即说明MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，因为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以a²=4b²，
又椭圆过点M（4，1），所以$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得b²=5，a²=20，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$（5分）
（2）将y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
再根据△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，求得5＞m＞-5．
设直线MA，MB斜率分别为k₁和k₂，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$．
而此分式的分子等于（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=$\frac{2（4{m}^{2}-20）}{5}$-$\frac{8m（m-5）}{5}$-8（m-1）=0，可得k₁+k₂=0，
因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．（14分）

点评 本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．