Question

13．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，解出即可得出；
（2）设直线的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，两式相减再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）由题得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
解得a²=8，b²=4．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设直线的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
两式相减得 $（{x}_{1}+{x}_{2}）+2（{y}_{1}+{y}_{2}）\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=0，
∵P是AB中点，∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
代入上式得：4+4k=0，解得k=-1，
∴直线l：x+y-3=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．