Question

2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是$6\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O₁，O₂，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C．设球的半径为R，由球的表面积是4π，可得4πR²=4π，R=1．可得O₁O₂=2，为三棱柱的高．在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB，可得三棱柱的底面边长=2AB．利用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积S，即可得出三棱柱的体积．

解答 解：如图所示，
设球心为O，上下底面的中心分别为O₁，O₂，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C．
设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR²=4π，
解得R=1．∴O₁O₂=2，为三棱柱的高．
在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
可得三棱柱的底面边长=$2\sqrt{3}$．
∴三棱柱的底面面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴这个三棱柱的体积=S•O₁O₂=6$\sqrt{3}$．
故答案为：6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体积计算公式、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．