Question

7．与双曲线x²-2y²=2有相同渐近线，且过点M（2，-2）的双曲线的标准方程（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1或$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 已知双曲线即$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，可设要求的双曲线方程为 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=k，再把点M（2，-2）代入，求得k的值，从而求得要求的双曲线方程．

解答 解：双曲线x²-2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，它的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
由于所求双曲线与双曲线x²-2y²=2有相同渐近线，故可设要求的双曲线方程为 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=k．
再根据要求的双曲线经过点M（2，-2），可得2-4=k，求得 k=-2，
故要求的双曲线方程为 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=-2，即 $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用了与双曲线x²-2y²=2有相同渐近线的双曲线方程为 $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=k的形式，属于中档题．