Question

12．已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=9，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）若m=0，求直线被圆C截得的弦长；
（2）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点．

Answer 1

分析 （1）由条件利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得直线被圆C截得的弦长．
（2）根据直线l经过定点M，而点M在圆的内部，可得直线l与圆恒交于两点．

解答 解：（1）若m=0，则直线l：x+y-4=0，求得弦心距d=$\frac{|1+1-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，而半径r=3，
故弦长为2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
（2）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 x+y-4+m（2x+y-7）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，可得直线l经过定点M（3，1）．
而点M（3，1）到圆心C（1，1）的距离为2，小于半径3，故点M在圆C的内部，故直线l与圆恒交于两点．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线经过定点问题，属于基础题．