Question

2．已知命题p：实数t满足（t-a）（t-2a）＜0（a＞0），命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}$=1表示双曲线
（1）若a=1且p为假命题，求实数t的取值范围；
（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p为假命题，即可求实数t的取值范围；
（2）利用p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=1，则不等式为（t-1）（t-2）＜0，即1＜t＜2，
p：t∈（1，2），
若方程$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}$=1表示双曲线，
则t-6＜0，即t＜6．
q：t∈（-∞，6），
若p为假命题，则t≥2或t≤1，
则实数t的取值范围{t|t≥2或t≤1}．
（2）（t-a）（t-2a）＜0（a＞0），
得a＜t＜2a，
即p：a＜t＜2a，（a＞0），q：t∈（-∞，6），
若p是q的充分，
则0＜2a≤6，则0＜a≤3，
即实数a的取值范围是（0，3]．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，