Question

1．已知动点P（x，y）在椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}$=1上，若A点的坐标为（6，0），|${\overrightarrow{AM}}$|=1，且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0，则|${\overrightarrow{PM}}$|的最小值为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 通过$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0推断出PM⊥AM，进而利用勾股定理可知|PM|²=|AP|²-|AM|²，进而问题转化为求得|AP|最小值，计算即得结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{AM}$=0，∴PM⊥AM，
∴|PM|²=|AP|²-|AM|²，
又∵|${\overrightarrow{AM}}$|=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，
设P（10cosx，8sinx），则|AP|²=（10cosx-6）²+（8sinx-0）²
=100cos²x-120cosx+36+64sin²x
=36cos²x-120cosx+100
=（6cosx-10）²，
∴|AP|的最小值为$\sqrt{（6-10）^{2}}$=4，
∴|PM|的最小值为：$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
故答案为：$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和平面向量的几何意义．考查了学生综合分析问题和推理能力以及数形结合的思想的运用，注意解题方法的积累，属于中档题．