Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知矩形ABCD的四条边都与椭圆C相切，设直线AB方程为y=kx+m，求矩形ABCD面积的最小值与最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点是（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，确定直线方程与椭圆方程联立，表示出面积，即可求矩形ABCD面积的最小值与最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个顶点是（0，1），
所以b=1…（1分）
又，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²
解得 a=2，…（3分）
故椭圆C的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）当k=0时，椭圆的外切矩形ABCD面积为8．…（1分）
当k≠0时，椭圆的外切矩形ABCD的边AB所在直线方程为y=kx+m，
所以，直线BC和AD的斜率均为$-\frac{1}{k}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0…（2分）
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）=0
化简得：m²=4k²+1…（3分）
所以，直线AB方程为$y=kx-\sqrt{4{k^2}+1}$
直线DC方程为$y=kx+\sqrt{4{k^2}+1}$
直线AB与直线DC之间的距离为$\frac{{2\sqrt{4{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$…（5分）
同理，可求BC与AD距离为$\frac{{2\sqrt{4{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}}}{{\sqrt{{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{4+{k^2}}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（6分）
则矩形ABCD的面积为$S=\frac{{2\sqrt{4{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}•\frac{{2\sqrt{4+{k^2}}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=4\sqrt{4+\frac{9}{{{k^2}+\frac{1}{k^2}+2}}}$
由均值定理   8＜S≤10…（9分）
仅当k²=1，即k=±1时S有最大值10．
因此，当k=±1时S有最大值10；
当k=0时，S有最小值8．…（10分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．