Question

14．若椭圆M₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆M₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的长轴长相等，c₁、c₂分别为它们的半焦距，且b₁＞b₂．给出下列五个命题，其中为真命题的是②④⑤（写出所有真命题的序号）
①设椭圆的离心率为e，则e₁＞e₂；②b₁²-b₂²=c₂²-c₁²；③b₂c₁＞b₁c₂；
④设椭圆M₁的焦点F₁、F₂，P₁为椭圆M1上的任意一点，椭圆M₂的焦点F₃、F₄，P₂为椭圆M₂上的任意一点，则∠F₁P₁F₂和∠F₃P₂F₄都取最大角时，∠F₁P₁F₂＜∠F₃P₂F₄；
⑤若称椭圆上的点与焦点之间的线段之间的线段长度为焦半径，则椭圆M₁的最短的焦半径比椭圆M₂的最短的焦半径要长．

Answer 1

分析 利用椭圆M₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆M₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的长轴长相等，c₁、c₂分别为它们的半焦距，且b₁＞b₂．对五个命题，分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①设椭圆的离心率为e，因为b₁＞b₂，所以c₁＜c₂，则e₁＜e₂，故不正确；
②因为a₁=a₂，所以b₁²+c₁²=b₂²+c₂²，所以b₁²-b₂²=c₂²-c₁²，故正确；
③因为b₁＞b₂，c₁＜c₂，所以b₂c₁＜b₁c₂，故不正确；
④设椭圆M₁的焦点F₁、F₂，P₁为椭圆M1上的任意一点，椭圆M₂的焦点F₃、F₄，P₂为椭圆M₂上的任意一点，则因为b₁＞b₂，c₁＜c₂，所以∠F₁P₁F₂和∠F₃P₂F₄都取最大角时，∠F₁P₁F₂＜∠F₃P₂F₄，故正确；
⑤若称椭圆上的点与焦点之间的线段之间的线段长度为焦半径，则椭圆M₁的最短的焦半径a₁-c₁比椭圆M₂的最短的焦半径a₂-c₂要长，故正确．
故答案为：②④⑤．

点评 本题考查椭圆的性质，考查命题真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．