Question

4．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且S₁，$\frac{1}{2}{S_3}，\frac{1}{3}{S_5}$成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（ 2）若数列{b_n}为递增的等比数列，且集合{b₁，b₂，b₃}⊆{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列的公差为d，由${S_1}，\frac{1}{2}{S_3}，\frac{1}{3}{S_5}$成等差数列，求出d，然后求解a_n．
（ 2）由{b₁，b₂，b₃}⊆{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，结合数列{b_n}为递增的等比数列求出通项公式，然后利用错位相减法求解和即可．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，由${S_1}，\frac{1}{2}{S_3}，\frac{1}{3}{S_5}$成等差数列，得${S_1}+\frac{1}{3}{S_5}={S_3}$，
即${a_1}+\frac{1}{3}•5{a_3}=3{a_2}$，…..（2分）
即$1+\frac{5}{3}（{1+2d}）=3（{1+d}）$，解得d=1，∴a_n=1+（n-1）×1=n…．（6分）
（ 2）由{b₁，b₂，b₃}⊆{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，即{b₁，b₂，b₃}⊆{1，2，3，4，5}，
∵数列{b_n}为递增的等比数列，∴b₁=1，b₂=2，b₃=4，
∴${b_n}={b_1}{（{\frac{b_2}{b_1}}）^{n-1}}={2^{n-1}}$，…..（8分）
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n①
则2T_n=a₁•2b₁+a₂•2b₂+a₃•2b₃+…+a_n-1•2b_n-1+a_n•2b_n，
即   2T_n=a₁b₂+a₂b₃+a₃b₄+…+a_n-1b_n+a_nb_n+1②
①-②得-T_n=a₁b₁+（a₂-a₁）b₂+（a₃-a₂）b₃+（a₄-a₃）b₄+…+（a_n-a_n-1）b_n-a_nb_n+1，
即$-{T_n}=1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}$=$\frac{{1-{2^n}}}{1-2}-n•{2^n}$=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
∴${T_n}=（{n-1}）•{2^n}+1$…（12分）

点评 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．