Question

16．如图，Rt△ABC中，斜边AB=2，∠A=30°，若A、B分别在大小为45°的∠O两边上滑动，则OC的最大值为$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求出BC=1，∠B的度数，设∠ABO=α，运用正弦定理，求得OB，在三角形OBC中，运用余弦定理，结合三角函数的二倍角公式和两角和差的正弦、余弦公式，化简整理，再由正弦函数的最值，即可得到OC的最大值．

解答 解：Rt△ABC中，斜边AB=2，∠A=30°，即有BC=1，∠B=60°，
设∠ABO=α，在三角形ABO中，
$\frac{AB}{sin45°}$=$\frac{OB}{sin（135°-α）}$，
即有OB=2$\sqrt{2}$sin（135°-α）=2（sinα+cosα），
在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BCcos（60°+α）
=4（1+sin2α）+1-4（sinα+cosα）•（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=5+4sin2α-2cos²α+2$\sqrt{3}$sin²α-（1-$\sqrt{3}$）sin2α
=5+4sin2α-（1+cos2α）+$\sqrt{3}$（1-cos2α）-（1-$\sqrt{3}$）sin2α
=4+$\sqrt{3}$+（3+$\sqrt{3}$）sin2α-（1+$\sqrt{3}$）cos2α
=4+$\sqrt{3}$+（1+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$sin2α-cos2α）
=4+$\sqrt{3}$+2（1+$\sqrt{3}$）sin（2α-30°）
当2α-30°=90°，即α=60°时，
OC²取得最大，且为6+3$\sqrt{3}$，
此时OC为$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，主要考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的最值，属于中档题．