Question

7．设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），q：x∈（2，3]
（1）若命题“若q，则p”为真，求实数a的取值范围；
（2）若p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题“若q，则p”为真，则q是p的充分条件，即可求实数a的取值范围；
（2）若p是￢q的充分条件，根据条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0（a＞0），得（x-a）（x-3a）＜0，
则a＜x＜3a，
即p：x∈（a，3a），
若命题“若q，则p”为真，
即q是p的充分条件，即（2，3]⊆（a，3a），
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
（2）￢q：x∈（-∞，2]∪（3，+∞），
若p是￢q的充分条件，
则（a，3a）⊆（-∞，2]∪（3，+∞），
∵a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$或a≥3，
解得0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥3，
即实数a的取值范围是0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥3．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，