Question

19．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（1）求角C的值；
（2）若c=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由cosA与cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA与sinB的值，利用内角和定理及诱导公式得到cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由c，sinC，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（1）∵△ABC中，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则C=135°；
（2）∵c=$\sqrt{2}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴由正弦定理$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{5}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{5}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．