Question

4．设f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的一条对称轴为直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）求单调区间；
（3）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上的最值；
（4）如何将sinx图象变换成y=f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的图象的对称性求得φ的值．
（2）由条件利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的增区间和减区间．
（3）由条件利用正弦函数的定义域、值域，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上的最值．
（4）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）由题意可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈z．
再结合-π＜φ＜0，可得φ=-$\frac{3π}{4}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈z，
可得函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{8π}{8}$，k∈z，
可得函数的减区间为[kπ+$\frac{5π}{8}$，kπ+$\frac{9π}{8}$]，k∈z．
（3）在[0，$\frac{π}{2}$）上，2x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$），故当2x-$\frac{3π}{4}$=-$\frac{π}{2}$时，f（x）=sin（ 2x-$\frac{3π}{4}$）取得最小值为-1；
当2x-$\frac{3π}{4}$趋于$\frac{π}{4}$时，f（x）=sin（ 2x-$\frac{3π}{4}$）趋于最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（4）把y=sinx的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位，可得y=sin（x-$\frac{3π}{4}$）的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的图象．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．