Question

9．数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且a_n+1=2S_n（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）求T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列a_n与S_n的关系进行求解即可．
（2）利用错位相减法即可求T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=2S_n=S_n+1-S_n，
∴3S_n=S_n+1，
即$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=3，
则{S_n}是以公比q=3的等比数列，首项为S₁=a₁=1，
则S_n=3^n-1，
则当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1-3^n-2=2•3^n-2，
当n=1时，a₁=1不满足a_n=2•3^n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$
（2）∵T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．
∴3T_n=3a₁+2•3a₂+3•3a₃+…+n•3a_n=3a₁+2a₃+3a₄+…+n•3a_n+1，
则两式相减得2T_n=2a₁-2a₂-a₃-…-a_n+n•3a_n+1
=2-4-（a₃+…+a_n）+n•2•3^n-1，
=-2-$\frac{6（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$）+n•2•3^n-1
=-2-3（1-3^n-2）+n•2•3^n-1
=-5+（2n-1）•3^n-1
当n=1时，T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=a₁=1，
故T_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{-5+（2n-1）•{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及前n项和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．