Question

17．己知椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且它的一个焦点F₁的坐标为（0，1）
（Ⅰ）试求椭圆的标准方程：
（Ⅱ）设过焦点F₁的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求△NAB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；
（Ⅱ）设过焦点F₁的直线为l，分两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到S_△²=6（1-$\frac{1}{m}$）²（1-$\frac{1}{{m}^{2}}$），构造函数f（t）=6（1-t）²（1-t²），利用导数求出函数的最值，问题得以解决．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可解得a=$\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=2，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设过焦点F₁的直线为l，
①若l的斜率不存在，则A（0，$-\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$），即|AB|=2$\sqrt{3}$，
显然当N在短轴顶点（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）时，△NAB的面积最大，
此时，△NAB的最大面积为$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（2k²+3）x²+4kx-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{2{k}^{2}+3}$，x₁x₂=-$\frac{4}{2{k}^{2}+3}$，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+3}$，
∵当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，
设切线l′：y=kx+m，（m≤-$\sqrt{2}$），
联立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（2k²+3）y²+4kmy+2m²-6=0，
由△=（4km）²-4（2k²+3）（2m²-6）=0，
解得m²=2k²+3，（m＜-$\sqrt{3}$），
又点N到直线l的距离d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{|m-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+3}$，
∴S_△²=$\frac{12（m-1）^{2}（{k}^{2}+1）}{（2{k}^{2}+3）^{2}}$=6（1-$\frac{1}{m}$）²（1-$\frac{1}{{m}^{2}}$），
令t=$\frac{1}{m}$（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）
设f（t）=6（1-t）²（1-t²），
∴f′（t）=12（1-t）²（2t+1），
∵当t∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）时，f′（t）＞0，当t∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，f′（t）＜0，
∴f（t）在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）上是增函数，在（-$\frac{1}{2}$，0）为减函数，
∴f（t）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{81}{8}$，
故k²=$\frac{1}{2}$时，△NAB的最大面积为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
显然$\sqrt{6}$＜$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴当l的方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1，△NAB的面积最大，最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，利用导数求函数的最值问题，考查运算能力，考查化归思想，属于难题．