Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}=1$（0＜b＜3），左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆于 A，B两点，若|AF₂|+|BF₂|的最大值为8，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用椭圆的定义可得：△AF₂B的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=12；若|AB|最小时，|BF₂|+|AF₂|的最大，又当AB⊥x轴时，|AB|最小，解出|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，可得b，利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：∵|AF₁|+|AF₂|=6，|BF₁|+|BF₂|=6，
∴△AF₂B的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=12；
若|AB|最小时，|BF₂|+|AF₂|的最大，又当AB⊥x轴时，|AB|最小，
此时|AB|=$\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2{b^2}}}{3}$，
故$12-\frac{{2{b^2}}}{3}=8⇒b=\sqrt{6}$，
∴$c=\sqrt{3}$，
∴$e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．