Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（4，2），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点R（x₀，y₀）是椭圆上的任意一点，从原点O引圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的两条切线分别交椭圆C于点P，Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：OP²+OQ²的值为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程和a，b，c的关系没接到a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设过原点圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的切线方程为y=kx，运用直线和圆相切的条件：d=r，联立直线OP、OQ方程和椭圆方程，求得P，Q的坐标，运用韦达定理，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（4，2），
则$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，又e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且a²-b²=c²，解得a=2$\sqrt{6}$，b=2$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；                       
（Ⅱ）证明：设直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
设过原点圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的切线方程为y=kx，
则有$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，整理得（x₀²-8）k²-2x₀y₀k+y₀²-8=0
即有k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-8}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-8}{{{x}_{0}}^{2}-8}$，
又因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{24}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}$=1，所以可求得k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，
将y=k₁x代入椭圆方程x²+2y²=24，
得x₁²=$\frac{24}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，则y₁²=$\frac{24{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
同理可得x₂²=$\frac{24}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，y₂²=$\frac{24{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，
所以OP²+OQ²=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$
=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）（1+2{{k}_{2}}^{2}）+24（1+{{k}_{2}}^{2}）（1+2{{k}_{1}}^{2}）}{（1+2{{k}_{1}}^{2}）（1+2{{k}_{2}}^{2}）}$
=$\frac{24[3（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+1）]}{2（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+1）}$=36．
所以OP²+OQ²的值为定值36．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，以及直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题．