Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），上顶点为B（0，1）．
（1）过点B作直线与椭圆C交于另一点A，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BF}$=0，求△ABF外接圆的方程；
（2）若过点M（2，0）作直线与椭圆C相交于两点G，H，设P为椭圆C上动点，且满足$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=t$\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点）．当t≥1时，求△OGH面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=c=1，进而得到a，可得椭圆方程，由向量垂直的条件可得A的坐标，再由AF中点和半径的定义，可得圆的方程；
（2）设过点M的直线方程为x=my+2，G，H两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用韦达定理，向量共线的坐标表示，可得S的函数式，再由基本不等式，即可得到最值，进而得到所求范围．

解答 解：（1）由右焦点为F（1，0），上顶点为B（0，1）得b=1，c=1，
所以a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
因为$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可求得点A（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
因为△ABF为直角三角形，AF中点坐标（-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{6}$），且|AF|=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
所以△ABF外接圆方程为（x+$\frac{1}{6}$）²+（y+$\frac{1}{6}$）²=$\frac{25}{18}$；
（2）设过点M的直线方程为x=my+2，
G，H两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$得（m²+2）y²+4my+2=0，
△=8m²-16＞0，可得m²＞2，
因为y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，
所以|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{4m}{2+{m}^{2}}）^{2}-\frac{8}{2+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$
由$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=t$\overrightarrow{OP}$所以点P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}$），
因为点P在椭圆C上，
所以有（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$）²+2（$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}$）²=2，
化简得[m（y₁+y₂）+4]²+2（y₁+y₂）²=2t²，
因为y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，所以得（-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$）²•（m²+2）+8m•（-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$）+16-2t²=0
化简m²=$\frac{16}{{t}^{2}}$-2，
因为t≥1，所以2＜m²≤14，
因为S_△OGH=$\frac{1}{2}•2•$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{2+{m}^{2}}$，
令$\sqrt{{m}^{2}-2}$=t（t∈（0，2$\sqrt{3}$]），所以S_△OGH=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$，
令g（t）=t+$\frac{4}{t}$，因为g（t）在t∈（0，2]上单调递减，在t∈[2，2$\sqrt{3}$]上单调递增，
即S_△OGH≤$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当t=2时，取得最大值．
所以△OGH面积S的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和向量共线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．