Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F₁、F₂分别为其左右焦点，点B为椭圆与y轴的一个交点，△BF₁F₂的周长为6+2$\sqrt{6}$，椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点A为椭圆的左顶点，斜率为k的直线l过点E（1，0），且与椭圆交于C，D两点，k_AC，k_AD分别为直线AC，AD的斜率，对任意的k，探索k_AC•k_AD是否为定值．若是则求出该值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的定义计算即得结论；
（2）设直线l的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵点B为椭圆与y轴的一个交点，△BF₁F₂的周长为6+2$\sqrt{6}$，
∴由椭圆的定义及可知：c+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=3+$\sqrt{6}$，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$、a²-b²=c²，
∴a²=9，b²=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）结论：k_AC•k_AD为定值-$\frac{1}{6}$．
理由如下：
由题可知A（-3，0），
∵斜率为k的直线l过点E（1，0），
∴直线l的方程为：y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y可得：（1+3k²）x²-6k²x+3k²-9=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-9}{1+3{k}^{2}}$，
∴k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+3}$•$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}+3}$
=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=k²•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
=k²•$\frac{\frac{3{k}^{2}-9}{1+3{k}^{2}}-\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}+1}{\frac{3{k}^{2}-9}{1+3{k}^{2}}+3•\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}+9}$
=-$\frac{1}{6}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．