Question

4．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：

t	50	110	250
Q	150	108	150

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at²+bt+c，Q=a•b^t，Q=alog_bt，并说明理由；
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

Answer 1

分析 （1）根据数据选择合适的函数类型，利用待定系数法进行求解．
（2）结合一元二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）由数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，
若用函数Q=at+b，Q=a•b^t，Q=alog_bt中的任意一个来反映时都应有a≠0，
且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，…（2分）
所以应选用二次函数Q=at²+bt+c进行描述．…（3分）
将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at²+bt+c，可得：
$\left\{\begin{array}{l}{150=2500a+50b+c}\\{108=12100a+110b+c}\\{150=62500a+250b+c}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{200}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=$\frac{425}{2}$．…（9分）
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$．…（10分）
（2）当t=-$\frac{-\frac{3}{2}}{2×\frac{1}{200}}$=150（天）时，…（12分）
芦荟种植成本最低为Q=$\frac{1}{200}$×150²-$\frac{3}{2}$×150+$\frac{425}{2}$=100（元/10 kg）．…（14分）

点评 本题主要考查函数模型的应用，考查学生的运算能力．