Question

15．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、M、N分别是AB、AA₁、BC₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；
（Ⅱ）再若AC=BC，BB₁=$\sqrt{2}$AB，试在BB₁上找一点F，使A₁B⊥平面CDF，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁H（H为B₁C₁的中点），由M、N分别为AA₁、BC₁的中点可得，MN∥A₁H，又A₁H?平面A₁B₁C₁，MN?平面A₁B₁C₁，即可证明MN∥平面ABC．
（Ⅱ）作DE⊥A₁B交A₁B于E，延长DE交BB₁于F，连接CF，则A₁B⊥平面CDF，点F即为所求，根据CD⊥平面AA₁BB，A₁B?平面AA₁B₁B，则CD⊥A₁B，A₁B⊥DF，DF∩CD=D，满足线面垂直的判定定理，则A₁B⊥平面CDF．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接A₁H（H为B₁C₁的中点），由M、N分别为AA₁、BC₁的中点可得，
MN∥A₁H，又∵A₁H?平面A₁B₁C₁，MN?平面A₁B₁C₁，
∴MN∥平面A₁B₁C₁．
∴由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，从而有MN∥平面ABC；
（Ⅱ）解：作DE⊥A₁B交A₁B于E，延长DE交BB₁于F，连接CF，则A₁B⊥平面CDF，点F即为所求．
∵CD⊥平面AA₁B₁B，A₁B?平面AA₁B₁B，
∴CD⊥A₁B．又A₁B⊥DF，DF∩CD=D，
∴A₁B⊥平面CDF．
∴此时点F为靠近B的四等分点．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．