Question

3．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　）

• A． y=3x+1
• B． y=2^-x-2^x
• C． y=x²+1
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根据奇函数图象的对称性，一次函数的图象，减函数、增函数的定义，偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找到正确选项．

解答 解：A．y=3x+1，该函数的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，∴该函数为非奇非偶函数，∴该选项错误；
B．y=2^-x-2^x，x增大时，y减小，∴该函数为减函数，∴该选项错误；
C．y=x²+1，显然该函数为偶函数，∴该选项错误；
D．y=x|x|，显然该函数为奇函数，y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$，而x≥0时，x²递增，x＜0时，-x²递增，且x＜0时，-x²＜0；
∴函数y=x|x|是增函数；
∴该选项正确．
故选：D．

点评 考查奇函数图象的对称性，奇函数、偶函数的定义，能画出一次函数的定义，函数单调性的定义，以及二次函数的单调性，分段函数的单调性．