Question

4．已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，a₁=1，且S₁，S₂，a₁+a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}+1）（lo{g}_{2}{a}_{n+1}+1）}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出数列的公比，结合等比数列的定义即可求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法进行求解即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，且S₁，S₂，a₁+a₃成等差数列．
∴2S₂=S₁+a₁+a₃．
即2（a₁+a₂）=a₁+a₁+a₃，
即2a₂=a₃，
∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=2$，
则数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1，及S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}+1）（lo{g}_{2}{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{2}^{n-1}+1）（lo{g}_{2}{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₁+…+b_n=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，利用等比数列的性质求出公比，以及利用裂项法是解决本题的关键．