Question

2．平面上三个力$\overrightarrow{{F}_{1}}$、$\overrightarrow{{F}_{2}}$、$\overrightarrow{{F}_{3}}$作用于一点且处于平衡状态，|$\overrightarrow{{F}_{1}}$|=1（N），|$\overrightarrow{{F}_{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$（N），$\overrightarrow{{F}_{1}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}}$的夹角为45°，将$\overrightarrow{{F}_{1}}$的起点放在原点，终点在x轴的正半轴，$\overrightarrow{{F}_{2}}$的终点放在第一象限内．
（1）$\overrightarrow{{F}_{3}}$的大小；
（2）求$\overrightarrow{{F}_{1}}$与$\overrightarrow{{F}_{3}}$的夹角大小．

Answer 1

分析 （1）三个力平衡则三个力的和为$\overrightarrow{0}$，移项，利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小．
（2）利用三角形的余弦定理求出两个向量的夹角大小．

解答 解：（1）如图，设力$\overrightarrow{{F}_{1}}$、$\overrightarrow{{F}_{2}}$的合力为$\overrightarrow{F}$，则|$\overrightarrow{F}$|=|$\overrightarrow{{F}_{3}}$|，
∵∠F₁OF₂=45°，∴∠OF₁F=135°．
在△OF₁F中，由余弦定理得${\overrightarrow{OF}}^{2}$=${\overrightarrow{{OF}_{1}}}^{2}$+${\overrightarrow{{OF}_{2}}}^{2}$-2|$\overrightarrow{{OF}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{OF}_{2}}$|•cos135°
=1+${（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）}^{2}$-2×1×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=4+2$\sqrt{3}$=${（\sqrt{3}+1）}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{OF}$|=$\sqrt{3}$+1，即|$\overrightarrow{{F}_{3}}$|=1+$\sqrt{3}$．
（2）依题意，由正弦定理得sin∠F₁OF=$\frac{|\overrightarrow{{FF}_{1}}|•sin∠{FF}_{1}O}{|\overrightarrow{OF}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠F₁OF=30°，从而$\overrightarrow{{F}_{1}}$与$\overrightarrow{{F}_{3}}$的夹角为150°．
综上可得，$\overrightarrow{{F}_{3}}$的大小为（1+3）N，$\overrightarrow{{F}_{3}}$与 $\overrightarrow{{F}_{1}}$的夹角为150°．

点评 本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、考查三角形的余弦定理，属于中档题．