Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，n∈N^*．利用a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）S_n=n²+n，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，n∈N^*．
∴a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n；
综上可得：a_n=2n．
（2）∵S_n=n²+n，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．