Question

8．某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．

区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人数	50	50	a	150	b

（1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；
（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；
（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

Answer 1

分析 （I）由题设中频率分布直方图再结合频率、频数及样本容量之间的关系可得a、b的值；
（II）根据估计平均数及估计中位数的求解公式即可求解；
（III）根据分成抽样的定义知：第1，2，3组各部分的人数的比例为1：1：4，则共抽取6人时，所以第1，2，3组三个年龄段应分别抽取的人数为1，1，4，设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C₁，C₂，C₃，C₄，列出所有情况，根据古典概型运算公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由题设可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50，
（Ⅱ）根据频率分布直方图可得，平均年龄为$\overline{x}$=（ 27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5，
估计中位数为：35+$\frac{0.3}{0.4}$=35.75，
（III）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，
利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×$\frac{50}{300}$=1
第2组的人数为6×$\frac{50}{300}$=1
第3组的人数为$6×\frac{200}{300}$=4         
设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C₁，C₂，C₃，C₄，
则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C₁），（A，C₂），（A，C₃），（A，C₄），（B，C₁），（B，C₂），（B，C₃），（B，C₄），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，C₄），（C₂，C₃），（C₂，C₄），（C₃，C₄），共15种可能．
其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种可能，
所以至少有1人年龄在第3组的概率为1-$\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$．

点评 本题考查等可能事件的概率及分层抽样方法，考查对立事件的概率，在考虑问题时，若问题从正面考虑比较麻烦，可以从它的对立事件来考虑