Question

17．已知函数f（x）定义在R上，且周期为3，当1≤x≤3时，f（x）=x²+4．
（1）求f（5）+f（7）的值；
（2）若关于x的方程f（x）=mx²（m∈R）在区间[4，6]有实根，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的周期为3知f（5）+f（7）=f（2）+f（1）=4+4+1+4=13；
（2）x∈[4，6]时，f（x）=f（x-3）=（x-3）²+4；从而化简方程f（x）=mx²为（x-3）²+4=mx²，从而得到m=$\frac{{x}^{2}-6x+13}{{x}^{2}}$=13（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{13}$）²+$\frac{4}{13}$，从而解得．

解答 解：（1）∵函数f（x）的周期为3，
∴f（5）+f（7）=f（2）+f（1）=4+4+1+4=13；
（2）x∈[4，6]时，f（x）=f（x-3）=（x-3）²+4；
故方程f（x）=mx²可化为（x-3）²+4=mx²，
故m=$\frac{{x}^{2}-6x+13}{{x}^{2}}$
=13（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{13}$）²+$\frac{4}{13}$，
∵4≤x≤6，
∴$\frac{4}{13}$≤13（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{13}$）²+$\frac{4}{13}$≤$\frac{13}{36}$，
即$\frac{4}{13}$≤m≤$\frac{13}{36}$．

点评 本题考查了函数的性质的应用及独立系数法求取值范围，属于基础题．