Question

2．已知直线l的方程是y=x-1和抛物线C：x²=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A，B，
（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点．
（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，${x}_{1}^{2}$），B（x₂，${x}_{2}^{2}$），P（x₀，y₀），可求切线PA，切线PB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，设直线AB的方程是y=kx+b，代入x²=y得x₀=$\frac{k}{2}$，y₀=-b，代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{k}{2}$-1，从而可求直线AB的方程，即可得解．
（Ⅱ）由两点间距离公式可求|AB|，由点到直线的距离公式可求点P到直线AB的距离d，由三角形面积公式及基本不等式即可得解．

解答 （Ⅰ）证明：设A（x₁，${x}_{1}^{2}$），B（x₂，${x}_{2}^{2}$），P（x₀，y₀），
因为y′=（x²）′=2x，所以切线PA的方程是y-x₁²=2x₁（x-x₁），
即y+x₁²=2x₁x ①，同理切线PB的方程是y+x₂²=2x₂x  ②--------（3分）
由①②得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，显然直线AB存在斜率．
设直线AB的方程是y=kx+b，代入x²=y得x²-kx-b=0，
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，即x₀=$\frac{k}{2}$，y₀=-b，③
代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{k}{2}$-1-------------------------------------------（5分）
即直线AB的方程是y-1=k（x-$\frac{1}{2}$），恒过定点（$\frac{1}{2}$，1）-------------（6分）
（Ⅱ）解：|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{（x}_{1}^{2}{-x}_{2}^{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}[1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}][1+（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{（{k}^{2}+4b）（1+{k}^{2}）}$
=$\sqrt{（{k}^{2}-2k+4）（1+{k}^{2}）}$--------------------（9分）
点P到直线AB的距离是d=$\frac{|k（{x}_{0}-\frac{1}{2}）-{y}_{0}+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|{k}^{2}-2k+4|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$-----（10分）
△PAB的面积=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{4}•|{k}^{2}-2k+4{|}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{4}|（k-1）^{2+3}{|}^{\frac{3}{2}}$$≥\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当k=1时△PAB的面积取得最小值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．-----------------------（12分）

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，两点间距离公式，点到直线距离公式，直线的方程等知识的应用，属于基本知识的考查．