Question

20．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F₁，F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₂-e₁的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2}{3}$，+∞）
• B． （$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF₁=r₁，PF₂=r₂．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e₂-e₁的取值范围．

解答 解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂．
由题意知r₁=10，r₂=2c，且r₁＞r₂，2r₂＞r₁，
∴2c＜10，2c+2c＞10，
∴2.5＜c＜5，
∴e₁=$\frac{2c}{10-2c}$=$\frac{c}{5-c}$；e₂=$\frac{2c}{10+2c}$=$\frac{c}{5+c}$．
∴e₂-e₁=$\frac{c}{5-c}$-$\frac{c}{5+c}$=$\frac{2{c}^{2}}{25-{c}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$＞$\frac{2}{3}$，
故选：A．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．