Question

10．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过（1）中轨迹E上的点P（1，2）作轨迹E的切线，求切线方程．

Answer 1

分析 （1）利用MA|=|MB|，动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，求出轨迹方程即可．
（2）设经过点P的切线方程为y-2=k（x-1），与抛物线联立利用相切，判别式为0，求解即可．

解答 解：（1）依题意，得|MA|=|MB|…（1分）
∴动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，…（3分）
∴动点M的轨迹E的方程为y²=4x．…（5分）
（2）设经过点P的切线方程为y-2=k（x-1），…．（6分）
联立抛物线y²=4x消去x得：ky²-4y-4k+8=0，…（10分）
由△=16-4k（-4k+8）=0，得k=1，…（12分）
∴所求切线方程为：x-y+1=0．…（13分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．