Question

1．已知函数f（x）=（2x²-a-1）e^x
（Ⅰ）若函数f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）有两个不同的极值点m，n，满足m+n≤mn+1，求f（a）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由f′（x）＞0，再根据函数f（x）在[-2，2]上为单调函数，将原问题转化为a≤2x²+4x-1=2（x+1）²-3在[-2，2]上恒成立问题，解之即得；
（Ⅱ）f（x）有两个不同的极值点m，n，即f′（x）=0有两个不等的实根，根据判别式和根与系数的关系，即可求出a的取值范围，在利用导数求出f（a）的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）在[-2，2]上是单调增函数，
∴f′（x）=（2x²+4x-a-1）e^x≥0在[-2，2]上恒成立，
即2x²+4x-a-1≥0，
∴a≤2x²+4x-1=2（x+1）²-3在[-2，2]上恒成立，
∴a≤-3；
（Ⅱ）∵f（x）有两个不同的极值点m，n，
∴f′（x）=0有两个不等的实根，
即2x²+4x-a-1=0有两个不等的实根m，n，
∴△=16+8（a+1）＞0，
解得a＞-3，
由根与系数的关系可知m+n=2，mn=-$\frac{a+1}{2}$，
∵m+n≤mn+1，
∴-2≤-$\frac{a+1}{2}$+1，
解得a≤5，
∴-3＜a≤5，
∵f（a）=（2a²-a-1）e^a，
∴f′（a）=（2a²+3a-2）e^a，
令f′（a）=0，解得a=-2或a=$\frac{1}{2}$，
∴f（-3）=20e^-3，f（-2）=9e^-2，f（$\frac{1}{2}$）=-$\sqrt{e}$，f（5）=44e⁵，
∴f（a）的取值范围[-$\sqrt{e}$，44e⁵]．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．