Question

11．已知函数f（x）=$\frac{{m•{2^x}+n}}{{{2^x}+m}}$（m≠0）是定义在R上的奇函数
（1）求m，n；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t²-3）＜f（2t）

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质，f（0）=0，f（1）+f（-1）=0得到关于m，n的方程组，解得即可．
（2）法一，根据指数和幂函数的性质即可判断，法二，利用定义即可判断；
（3）由（2）很据函数的单调性，可得关于t的不等式，解得即可．

解答 解：（1）由题知f（0）=0，
即m+n=0，
又f（1）+f（-1）=0，
即$\frac{2m+n}{2+m}+\frac{{\frac{1}{2}m+n}}{{\frac{1}{2}+m}}=0$，
∴m=1，n=-1；
（2）$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，函数f（x）在R上单增，判断方法如下：
（法一）y=2^x+1单增且恒有y＞0，∴$y=-\frac{2}{{{2^x}+1}}$也单增∴f（x）在R上单增；
（法二）设x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2（\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}＜0$，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单增；
（3）∵f（x）在R上单增，
∴t²-3＜2t，
解得-1＜t＜3．

点评 本题考查了奇函数的性质，以及函数的单调性，不等式的解法，属于基础题．