Question

3．已知四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=AC=2，SA=SB=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，证明SE⊥面ABCD，即可证明平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）过E作EG⊥AC，垂足为G，连接SG，证明∠SGE是二面角A-AC-B的平面角，求出SG，即可求二面角A-AC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AB的中点E，连接SE、EC，
∵SA=SB=$\sqrt{2}$，∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱锥S-ACDE的底面为菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CE=$\sqrt{3}$，
又SC=2，∴SC²=CE²+SE²，
∴SE⊥EC，∴SE⊥面ABCD，
∵SE?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：过E作EG⊥AC，垂足为G，连接SG，
由（Ⅰ）可得AC⊥SE，
∴AC⊥平面SEG，
∴SG⊥AC，
∴∠SGE是二面角A-AC-B的平面角．
在Rt△SEG中，SE=1，EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴SG=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠SGE=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角A-AC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题在四棱锥中证明面面垂直，并求二面角A-AC-B的余弦值．着重考查了平面与平面垂直的判定定理和二面角的平面角等知识，属于中档题．