Question

12．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且a²+c²-b²+ac=0
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC中sinC=2sinA，且b=$\sqrt{14}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理结合已知等式可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可得解．
（2）由正弦定理可求：c=2a，把已知边角关系代入余弦定理即可得解．

解答 本题满分为12分
解：（1）∵a²+c²-b²+ac=0，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∴结合B的范围：0＜B＜π，可解得：B=$\frac{2π}{3}$…（6分）
（2）∵sinC=2sinA，
∴由正弦定理可得：c=2a，
∴由余弦定理可得：b²=14=a²+c²-2accosB=a²+4a²+2a²=7a²，
∴可解得：a=$\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基本知识的考查．