Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EBD；
（Ⅱ）若直线PC与平面EBD所成角的大小为60°，求PA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，证明EO∥PA，然后证明PA∥平面FBD．
（Ⅱ） 解法一：说明∠CEO就是直线PC与平面EDB所成角然后求解PA．
解法二：以O为坐标原点，分别以射线OA，OB，OE为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，平面EBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），利用向量的数量积求解PA即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
∵O、E分别是AC、PC的中点，
∴EO∥PA．…（5分）
∵PA不在平面FBD内，
∴PA∥平面FBD．…（7分）
（Ⅱ） 解法一：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
又∵EO∥PA，∴EO⊥AC，又AC⊥BD，
∴AC⊥平面EBD，
∴∠CEO就是直线PC与平面EDB所成角．…（11分）
在菱形ABCD中，容易求得$OC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又∵EO⊥OC，所以$EO=\frac{1}{2}$，故PA=1．…（15分）
解法二：因为EO∥PA，PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD，又AC⊥BD，以O为坐标原
点，分别以射线OA，OB，OE为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．
设PA=h，由题意可知各点坐标如下：
A$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，0}）$，C$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，0}）$，P$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，h}）$，…（11分）
平面EBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），$\overrightarrow{PC}=（{\sqrt{3}，0，h}）$，
由已知可得，$|cos＜m，\overrightarrow{PC}＞|=sin60°$，即$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+{h^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴h=1，即PA=1．…（15分）

点评 本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面所成角，直线与平面平行的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．