Question

16．已知数列{a_n}中，a_n＞0，且3a_n+1²=a_n（a_n-2a_n+1），a₁=1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{n}$（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n），且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由3a_n+1²=a_n（a_n-2a_n+1），因式分解为（3a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=0，由于a_n＞0，可得a_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n}$，即可证明；
（2）由（1）可得log₃a_n=1-n．可得b_n=$\frac{1}{n}$[（1-1）+（1-2）+…+（1-n）]=$\frac{1-n}{2}$，由b_n≥0，解得n≤1，即可得出数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

解答 （1）证明：由3a_n+1²=a_n（a_n-2a_n+1），化为（3a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=0，
∵a_n＞0，
∴3a_n+1-a_n=0，即a_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（2）解：由（1）可得log₃a_n=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=1-n．
∴b_n=$\frac{1}{n}$（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n）=$\frac{1}{n}$[（1-1）+（1-2）+…+（1-n）]=$\frac{1}{n}[n-\frac{n（n+1）}{2}]$=1-$\frac{n+1}{2}$=$\frac{1-n}{2}$，
由b_n≥0，解得n≤1，
∴当n=1时，T_n取得最大值0．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、对数的运算性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．