Question

1．学校重视高三学生对数学选修课程的学习，在选修系列4中开设了4-1，4-2，4-3，4-4，4-5共5个专题课程，要求每个学生必须且只能选修其中1门课程，设A、B、C、D是高三某班的4名学生．
（1）求恰有2个专题没有被这4名学生选择的概率；
（2）设这4名学生中选择4-4专题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有5⁴，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C₅²C₄²A₃³，从而求解；
（2）某一专题课程被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4，分别算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答 解：（1）根据每个学生必须且只需选修1门专题课程，每一人都有种选择，总共有5⁴，恰有2门专题课程没有被这3名学生选择的概率，则有C₅²C₄²A₃³，
∴恰有2门专题课程这4名学生都没选择的概率：P₂=$\frac{360}{625}$=$\frac{72}{125}$
（2）设A专题课程被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=$\frac{{4}^{4}}{{5}^{4}}$=$\frac{256}{625}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{4}^{3}}{{5}^{4}}$=$\frac{256}{625}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}•{4}^{2}}{{5}^{4}}$=$\frac{96}{625}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}•4}{{5}^{4}}$=$\frac{16}{625}$，P（ξ=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{5}^{4}}$=$\frac{1}{625}$
分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

∴Eξ=0×$\frac{256}{625}$+1×$\frac{256}{625}$+2×$\frac{96}{625}$+3×$\frac{16}{625}$+4×$\frac{1}{625}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．