Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，k），$\overrightarrow{c}$=（-2cosx，sinx-k），若f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，求方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 由已知三个向量的坐标得到f（x）的解析式，然后化简，由f（x）=$\frac{1}{2}$求出x的集合．

解答 解：由已知f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$=（sinx，cosx）•（sinx-2cosx，sinx）=sin²x-2sinxcosx+cosxsinx=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
所以f（x）=$\frac{1}{2}$即$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，所以sin（2x+$\frac{π}{4}$）=0，解得2x+$\frac{π}{4}$=kπ，所以x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，k∈Z；
所以方程f（x）=$\frac{1}{2}$的解集为：{x|x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，k∈Z}．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算以及三角函数式的化简，属于经常考查题目．